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Quantenphysik

Einführung

Probleme der klassischen Physik

  • klassische Elektrodynamik sagt, dass die \(e^-\) durch ihre beschleunigte Bewegung um das Atom Energie in Form von elektromagnetische Wellen abstrahlen \(\rightarrow\) Atome sind instabil!?
  • Wieso besitzen Linienspektren scharfe Linien und wieso nicht weisses Licht ?
  • Der Photoeffekt:

Licht kann Elektronen aus einer Metallplatte herauslösen, wobei die Grenzspannung (Keine Elektronen erreichen die gegenüberliegende Platte) unabhängig von der Intensität des Lichts ist. Es folgt aufgrund der entstehenden Linearität zwischen \(E_{kin}\) der Elektronen und der Frequenz \(f\) des Lichts, dass dessen Energie nur von \(f\) abhängig ist. Es folgt also:

\[E_{kin}=h\cdot f-W\]

Wobei \(h\) die Steigung und \(W\) die Austrittsarbeit (materialabhängig) ist.

Was ist Licht?

  • Welle: Doppelspalt, Gitter und Interferenzmuster

  • Teilchen: Photonen mit

\[E=h\cdot f=p\cdot c\]
\[p=\frac{h\cdot f}{c}=\frac{h}{\lambda}\]
Quantenobjekte:
Objekte die sowohl Eigenschaften von Wellen als auch von Teilchen aufweisen. Sie werden durch Wahrscheinlichkeitswellen beschrieben.

Licht-Mikroskop

Licht-Mikroskop

\[\sin(\varphi)=\frac{\lambda}{d}\]
\[1>\sin(u)>\frac{\lambda}{d}\]

Teilchen sind auch Wellen

  • Wenn Elektronen an einer Graphit-Schicht abprallen entstehen keine "Flecken" sondern konzentrische Kreise / Interferenzmuster \(\rightarrow\) Elektronen sind Quantenobjekte
  • Für Teilchen gilt nach De Broglie also:
\[p=\frac{h}{\lambda}\]
\[\lambda=\frac{h}{m\cdot v}=\frac{h}{\sqrt{2m\cdot E_{kin}}}\]
  • \(e^-\)-Beugung am Graphit (mit \(E_{kin}=e\cdot U\))
\[\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m\cdot e\cdot U}}\]

Beugung am Graphit

\[n\cdot\lambda=2d\cdot \sin(\alpha)\]
  • Elektronenmikroskop (von der Logik her gleich wie das Licht-Mikroskop, wobei die Brechungsgrenze deutlich tiefer liegt.)
\[\sin(u)=0.01\]

Unschärfe, Tunneleffekt & Co.

  • Jede Messung zerstört das zu untersuchende Objekt. Auch Photonen haben Impuls.
  • Sowohl deBroglie-Längen als auch die Unschärferelation würden die klassische Physik (Instabilität) "retten"

Die Unschärferelation für Ort und Impuls

\[\Delta x\cdot \Delta p_x\geq h\]

Je genauer der Ort, desto ungenauer der Impuls und umgekehrt!

Die Unschärferelation für Zeit und Energie

(ohne Herleitung)

\[\Delta E\cdot \Delta t\geq h\]

Je genauer der Zeitpunkt einer Messung bestimmt wurde, desto ungenauer kennt man die Energie und umgekehrt!

Der Tunneleffekt

Aus der Unschärferelation für Zeit und Energie folgt anschliessend:

\[\Delta t\approx\frac{h}{\Delta E}=\frac{h}{mc^2}\]

Teilchen mit Masse \(m\) können für einen Zeitraum \(\Delta t\) entstehen und wieder verschwinden \(\rightarrow\) virtuelle Teilchen

Die folgende Tunnelbedingung gilt zur Überwindung der Energie \(E_{Barr}\) einer Barriere mit Distanz \(d\):

\[d\sqrt{E_{Barr}}\leq h\sqrt{\frac{2}{m}}\]

Alle Wechselwirkungen werden in der modernen Physik mit virtuellen Teilchen beschrieben.

Atommodelle

Vorbemerkung:

\[E_{pot}=\int F_C \,dr\]

Das Bohr-Modell

Idee

\(e^-\) kreist in stehenden Wellen um den Kern.

Bedingung:

\[2\pi r=n\cdot \lambda_{Elektron}\]

Wenn das in die Gleichung für \(F_{res,rad}\) eingesetzt wird folgt:

\[r=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar}{e^2m}\cdot n^2\sim n^2\]

mit

\[\hbar=\frac{h}{2\pi}\]

Energie

Wenn dies nun für \(E_{kin}\) und \(E_{pot}\) eingesetzt wird, erhalten wir:

\[E_{tot}=E_{pot}+E_{kin}=\frac{1}{2}E_{pot}=-\frac{m\cdot e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot\frac{1}{n^2}\sim-\frac{1}{n^2}\]

Daraus folgt:

\[E_{Grundzustand}=-13.6\mathrm{eV}\]

Um von den Zuständen zu springen gilt:

\[h\cdot\frac{c}{\lambda_{Ph}}=\frac{m\cdot e^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot\left | \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right |\]

Problem

Unschärferelation wird verletzt, da man in radialer Richtung sowohl Impuls als auch Position kennt.

2tes Atommodell (Nur mit Unschärferelation)

Idee

\(e^-\) ist um den Kern "verschmiert" mit:

\[\Delta r\cdot\Delta p\geq\hbar\]

Energie

Für die Energie gilt:

\[E_{tot}=E_{pot}+E_{kin}=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}+\frac{\hbar^2}{2m\cdot r^2}\]

Für den Mindestradius kommen wir durch ableiten auf den Bohr'schen Radius:

\[r_{min}=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m\cdot e^2}\]

Daraus folgt, dass die Grundzustände beider Modelle identisch sind.

Nachteil

Keine Quantisierung

Gesucht

Modell mit Quantisierung und Unschärferelation

Franck-Hertz-Experiment

Elektronen, die mit gewisser Spannung durch eine Gaswolke durchgeschossen werden. Sobald sie genug Spannung haben, geben sie diese den Gasatomen ab, verlieren also ihre Energie und bleiben stehen \(\rightarrow\) Strom fliesst nicht mehr.

Anschliessend ist die Spannung / Energie so gross, dass die Elektronen wieder fliessen, bis sie erneut genug Energie besitzen.

Last update: May 30, 2021