Differentialrechnung I
Allgemein
Differenzenquotient
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]
Differenzialquotient / Ableitung y'
Die Ableitung \(y'\) hat den folgenden (Grenz-)Wert:
\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]
Leibnizschreibweise
Oft schreibt man für \(y'\) auch:
\[y'=\frac{dy}{dx}\]
y'-Bestimmungen
\(y=3x^2\):
\[\begin{align}
y'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3(x+\Delta x)^2-3x^2}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cancel{3x^2}+6x\cancel{\Delta x}+3\Delta x^{\cancel{2}}\cancel{-3x^2}}{\cancel{\Delta x}}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}6x+3\Delta x\\[11pt]
&=6x
\end{align}\]
\(y=\sqrt{x}\):
\[\begin{align}
y'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\cdot\frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\\[11pt]
&=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align}\]
\(y=\sin(x)\) (Voraussetzungen siehe Kapitel "Neue Grenzwerte" in Repetition Funktionen und Ergänzungen):
\[\begin{align}
y'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x)\cos(\Delta x)+\cos(x)\sin(\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}+\frac{\sin(x)(\cos(\Delta x)-1)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\cos(x)
\end{align}\]
\(y=\cos(x)\):
\[\begin{align}
y'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x)\cos(\Delta x)-\sin(x)\sin(\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}-\frac{\sin(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}+\frac{\cos(x)(\cos(\Delta x)-1)}{\Delta x}\\[11pt]
&=-\sin(x)
\end{align}\]
\(y=\ln(x)\):
\[\begin{align}
y'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\ln\left[\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{\frac{1}{\Delta x}}\right]\;\;\left(\textrm{Substitution:}\;n=\frac{x}{\Delta x}\right)\\[11pt]
&=\lim_{n\to\infty}\ln\left[\left(\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^n\right)^{\frac{1}{x}}\right]\\[11pt]
&=\frac{1}{x}\ln(e)\\[11pt]
&=\frac{1}{x}
\end{align}\]
\(y=e^x\) bzw. \(ln(y)=x\):
\[\begin{align}
\lim_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}&=\frac{1}{y}\\[11pt]
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}&=\frac{1}{\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}}=\frac{1}{y'}\\[11pt]
&\Downarrow\\[11pt]
y&=y'
\end{align}\]
Erste Regeln beim Ableiten
I. Potenzregel (Beweis in Differentialrechnung II)
\[y=x^n\;\textrm{hat}\;y'=nx^{n-1}\]
II. Faktor- und Konstanten-Regel
\[\begin{align}
(ky+C)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{[kf(x+\Delta x)+C]-[kf(x)+C]}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{k[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}\\[11pt]
&=k\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=k\cdot y'
\end{align}\]
III. Differenzen- und Summen-Regel
\[\begin{align}
(f(x)\pm q(x))'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{[f(x+\Delta x)\pm q(x+\Delta x)]-[f(x)\pm q(x)]}{\Delta x}\\[11pt]
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\pm\lim_{\Delta x\to 0}\frac{q(x+\Delta x)-q(x)}{\Delta x}\\[11pt]
&=f'(x)\pm q'(x)
\end{align}\]
IV. Noch keine Regeln für Verkettungen, Quotienten, Produkte
Tangente an Stelle S der Funktion f(x)
- \(m\) ist \(f(2)'\)
- \(q\) mit berechnetem \(m\) und dem Punkt \(S\) für \(t:\;y=mx+q\) berechnen
Scheitelpunkt einer Parabel
\[(f'(x_0)=0|f(x_0))\]
Schnittwinkel zweier Funktionen
\[\tan(\alpha)=\left|\frac{y_2'-y_1'}{1+y_1'y_2'}\right|\]
Tangente t durch P an Funktion f(x)
\(m\) der Tangente und Schnittpunkt bei \(x_0\) mit folgenden 2 Gleichungen berechnen:
-
\[t(x_0)=f(x_0)\]
-
\[m=f'(x_0)\]
Last update: June 24, 2021