Grenzwerte und unendliche Prozesse
Grenzwerte
Allgemein
Konvergent / Divergent
Eine Folge wie z. B. \(a_n=\frac{n-2}{n}\) nähert sich immer mehr der kleinsten oberen Schranke 1. Obwohl diese theoretisch nie wirklich erreicht wird, sagen wir, dass wenn \(n\) zu \(\infty\) geht \(a_n\) zu 1 wird, sie also den Grenzwert 1 hat. Oder:
Die Folge konvergiert. Wenn dies nicht der Fall ist und die Folge zu \(\infty\) oder \(-\infty\) strebt, dann divergiert diese.
Umgebung
Grenzwerte werden formell mit \(\varepsilon\)-Umgebungen definiert. Egal wie gross /klein eine Umgebung (ein Bereich um den Grenzwert \(a\)) gewählt wird, ab einem bestimmten \(n_0\) liegen alle weiteren (immer noch unendlich viele) \(a_n\) in dieser Umgebung. Genau:
Für alle \(\varepsilon\)>0 gibt es ein \(n_0\) mit \(|a_n-a|<\varepsilon\) für alle \(n\geq n_0\)
Oder noch kürzer:
\(\forall\varepsilon>0,\;\exists n_0\) mit \(|a_n-a|<\varepsilon, \;\forall n\geq n_0\)
Ideen
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\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{an}=\infty\]
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\[\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{an+b}{cn+d}&=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(a+\frac{b}{n}\right)}{n\left(c+\frac{d}{n}\right)}\\[11pt] &=\lim_{n\to\infty}\frac{a+\frac{b}{n}}{c+\frac{d}{n}}\\[11pt] &=\frac{a}{c} \end{align}\]
Folgen und Reihen
Allgemein
Unendliche Reihen haben dann einen Grenzwert \(s\), wenn die Folge der Partialreihen \(s_n\) einen Grenzwert haben.
Geometrische Reihe
Der mögliche Grenzwert von \(\(s=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\)\) lässt sich auf zwei Arten bestimmen. Die erste lässt sich auch auf andere Beweise anwenden.
Erste Art:
(Achtung: Beweis gilt nur, wenn \(s\) auch einen Wert hat, es konvergiert: \(-1<q<1\))
Zweite Art:
Grenzwertsätze
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\[\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim_{n\to\infty}(a_n)\cdot\lim_{n\to\infty}(b_n)=a\cdot b\]
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\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim_{n\to\infty}(a_n)}{\lim_{n\to\infty}(b_n)}=\frac{a}{b}\]
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\[\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}(a_n)\pm\lim_{n\to\infty}(b_n)=a\pm b\]
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\[\lim_{n\to\infty}[(a_n)^r]=[\lim_{n\to\infty}(a_n)]^r=a^r\]
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\[\lim_{n\to\infty}(r\cdot a_n)=r\cdot\lim_{n\to\infty}(a_n)=r\cdot a\]
Intervallschachtelung
Wenn für eine Folge von ineinander verschachtelten Intervallen \([a_n;b_n]\) die Aussage \(\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\) gilt, spricht man von einer Intervallschachtelung. D. h. eine Folge \(a_n\) nähert sich dem Grenzwert \(x\) von unten und eine Folge \(b_n\) von oben, sprich \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=x\).
Auflistung der reellen Zahlen
Könnte man alle Zahlen \(r\in\mathbb{R}\) im Intervall \([0;1\) als Punkte in einer Liste \({r_1,r_2,r_3,...}\) auflisten, dann kann die Grösse dieser Punkte beliebig klein (z. B. \(\frac{1}{1\cdot10^6},\frac{1}{2\cdot10^6},\frac{1}{4\cdot10^6},...\)) gewählt werden, was dazu führt, dass alle Punkte in der Liste unter einer beliebig kleinen Umgebung (z. B. \(\frac{1}{1\cdot10^6}+\frac{1}{2\cdot10^6}+\frac{1}{4\cdot10^6}+...=\frac{2}{10^6}\) Platz hätten. Dies macht keinen Sinn, da wir wissen, dass diese Punkte insgesamt die Länge 1 ergeben müssten. D. h., dass die reellen Zahlen nicht aufgelistet werden können.
Harmonische Reihe
Eine sehr wichtige Reihe ist die sogenannte Harmonische Reihe:
Um den Grenzwert zu bestimmen, verwendet man wieder eine Idee (Gruppieren), die bei vielen Beweisen verwendet wird:
Vollständige Induktion
Die Logik bei der Induktion ist vom Speziellen zum Allgemeinen zu schliessen. (Gegenteil von Deduktion)
Folgendes Vorgehen wird für den Beweis verwendet, nach dem eine Behauptung (meistens mit \(n\)) aufgestellt hat:
- Verankerung: Kleinsten speziellen Fall finden, für welchen die Behauptung gilt.
- Voraussetzung: Die Behauptung erneut für ein (meistens) \(k\) formuliert.
- Zu Zeigen: Aus den vorherigen Schritten, muss gezeigt werden, dass die Behauptung für \(k+1\) gilt.