Mechanik

Kinematik

Alle Beziehungen zwischen \(x\), \(v\), \(a\) und \(t\) ohne Berücksichtigung von \(m\) und \(t\) sind Teil der Kinematik. Wichtig sind im Grunde die Beziehungen \(v=\frac{x}{t}\) und \(a=\frac{v}{t}\). Alle weiteren Formeln sind Ableitungen dieser Grundgesetze. Alle anderen Formeln sind Ableitungen davon.

Kräfte

Gewichtskraft

\[G=m\cdot g\]

Normalkraft

Auf stabilem Untergrund heben sich die Gewichtskraft und die Komponente der Normalkraft in entgegengesetzter Richtung auf.

\[\vec{N_y}=-\vec{G}\]

Reibungskräfte

Haftreibung

Die Haftreibung verhindert das Rutschen. Für die maximal möglich Haftreibung \(R_{\textrm{H,max}}\) gilt:

\[R_{\textrm{H,max}}=\mu_H\cdot N\]

Gleitreibung

Die von der Geschwindigkeit unabhängige, bremsende Kraft bei bewegten Körpern:

\[R_{\textrm{G,max}}=\mu_G\cdot N\]

Feder

Die Kraft \(F\) einer Feder wird mit der Federkonstante \(D\) und der erreichten Verlängerung \(x\) beschrieben:

\[F=D\cdot x\]

Gravitationskraft

\[F_{\textrm{Grav}}=G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\]

Newtonschen Prinzipien

Trägheitsprinzip

Körper ohne Krafteinwirkung führen gleichförmige Bewegungen aus oder bleiben in Ruhe

Aktionsprinzip

Die Verknüpfung von Kinematik und Kräften

\[F=m\cdot a\]

Daraus folgt auch:

\[\vec{F}\cdot\Delta t=m\cdot\Delta v\]

Wechselwirkungsprinzip

Actio gleich reactio.

Impuls

Der Impuls wird wie folgt definiert:

\[\vec{p}=m\cdot \vec{v}\]

Es gilt zusätzlich die Impulserhaltung:

\[\sum p_{\textrm{vorher}} = \sum p_{\textrm{nachher}}\]

Arbeit, Energie und Leistung

Arbeit

Die Arbeit \(W\) wird wie folgt definiert:

\[W=F\cdot \Delta x\]

Energie

Die Definitionen der Energien folgen aus Umformungen der Arbeit.

Kinetische Energie

\[E_{\textrm{kin}}=\frac{m}{2}v^2\]

Daraus folgt der Energiesatz:

\[W_{\textrm{tot}}=F_{\textrm{res,x}}\cdot\Delta x=E_{\textrm{kin,Ende}}-E_{\textrm{kin,Anfang}}=\frac{m}{2}v_{\textrm{x,Ende}}^2-\frac{m}{2}v_{\textrm{x,Anfang}}^2\]

Wichtig für z. B. Bremsweg, weil sie auch mit Reibung gilt.

Bei elastischen Stössen bleibt zudem die kinetische Energie erhalten.

Potenzielle Energie

\[E_{\textrm{pot}}=F\cdot h=m\cdot g\cdot h\]

Deformationsenergie

\[E_{\textrm{D}}=\frac{D}{2}x^2\]

Energieerhaltung

Gilt nur, wenn keine Reibung im Spiel ist:

\[\sum E_{\textrm{vorher}} =\sum E_{\textrm{nachher}}\]

Leistung

Für die Leistung \(P\) gilt:

\[P=\frac{W}{t}=\frac{E}{t}\]

Wirkungsgrad

Für den Wirkungsgrad \(\eta\) gilt:

\[\eta=\frac{E_{\textrm{nützlich}}}{E_{\textrm{aufgewandt}}}=\frac{P_{\textrm{nützlich}}}{P_{\textrm{aufgewandt}}}\]

Kreisbewegung

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) wird als zurückgelegte Winkel \(\Delta\varphi\) (in Bogenmass) pro Zeiteinheit \(\Delta t\) definiert:

\[\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}\]

Für die Geschwindigkeit \(v\) über Strecke \(s\) gilt dann:

\[v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\cdot \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=r\cdot\omega\]

Die Periode \(T\) hat:

\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]

Und die Frequenz \(f\) hat:

\[f=\frac{1}{T}\]

Für die resultierende Kraft in radialer Richtung gilt:

\[F_{\textrm{res,rad}}=m\cdot a_{\textrm{rad}}=m\cdot\frac{v^2}{r}\]

Last update: May 26, 2021