Die Gerade im Raum
Parameterform von Geraden
Jeder Punkt \(P\) auf einer Geraden kann durch eine Kombination eines Ortsvektor \(\vec{a}\) (Vektor zu einem bekannten Punkt auf der Geraden) und einem Richtungsvektor \(\vec{b}\) (Vektor, der in die Richtung der Geraden zeigt) beschrieben werden:
\[\begin{align}
\vec{OP}&=\vec{a}+t\vec{b}\\[11pt]
\left(\begin{array}{c}P_x\\P_y\\P_z \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\a_z \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\b_z \end{array}\right)
\end{align}\]
Spezielle Geraden
- Gerade durch den Origo
\[\left(\begin{array}{c}P_x\\P_y\\P_z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0 \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\b_z \end{array}\right)\]
- In der xz-Ebene
\[\left(\begin{array}{c}P_x\\P_y\\P_z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_x\\0\\a_z \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}b_x\\0\\b_z \end{array}\right)\]
- Parallel zur xz-Ebenen
\[\left(\begin{array}{c}P_x\\P_y\\P_z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\neq0\\a_z \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}b_x\\0\\b_z \end{array}\right)\]
- Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene wird in Die Ebene im Raum besprochen.
- Schnittpunkte mit den xy-, yz- und xz-Ebenen werden Spurpunkte \(G_1\), \(G_2\) und \(G_3\) genannt.
Vorgehen zur Lage zweier Geraden
Gegeben seien Geraden \(f: \vec{p} + t\vec{u}\) und \(g: \vec{q} + s\vec{v}\)
- \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) kollinear?
- Ja --> Liegt \(\vec{p}\) auf \(g\)?
- Ja --> \(f=g\)
- Nein --> \(f||g\)
- Nein --> Schneidet \(f\) \(g\)?
- Ja --> \(f\) schneidet \(g\)
- Nein --> windschief
- Ja --> Liegt \(\vec{p}\) auf \(g\)?
Last update: May 26, 2021