Nichtgeometrische Anwendungen von Matrizen

Allgemein

Eigentlich können sowohl Matrizen für Mengen / Preise und Populationen als auch stochastische Matrizen (auch Markov-Ketten) nach dem gleichen Prinzip aufgestellt werden, wenn schon ein Übergangsgraph vorhanden ist. Es seien \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) und \(D_1\) die gesuchten Zahlen (Entwicklung nach einer Zeiteinheit, Endprodukt/Zwischenprodukt oder die nächsten Folgenglieder) und \(A_0\), \(B_0\), \(C_0\) und \(D_0\) die schon vorhandenen Zahlen (Anfangsbestand, Rohstoffe oder die ersten Folgenglieder). Übergänge werden mit z. B. \(B_0\rightarrow A_1\) indiziert.

\[\begin{align} \begin{pmatrix}A_1\\B_1\\C_1\\D_1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}A_0\rightarrow A_1 & B_0\rightarrow A_1 & C_0\rightarrow A_1 & D_0\rightarrow A_1\\ A_0\rightarrow B_1 & B_0\rightarrow B_1 & C_0\rightarrow B_1 & D_0\rightarrow B_1\\ A_0\rightarrow C_1 & B_0\rightarrow C_1 & C_0\rightarrow C_1 & D_0\rightarrow C_1\\ A_0\rightarrow D_1 & B_0\rightarrow D_1 & C_0\rightarrow D_1 & D_0\rightarrow D_1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A_0\\B_0\\C_0\\D_0\end{pmatrix}\\[11pt] &\Downarrow\\[11pt] M&=\begin{pmatrix}A_0\rightarrow A_1 & B_0\rightarrow A_1 & C_0\rightarrow A_1 & D_0\rightarrow A_1\\ A_0\rightarrow B_1 & B_0\rightarrow B_1 & C_0\rightarrow B_1 & D_0\rightarrow B_1\\ A_0\rightarrow C_1 & B_0\rightarrow C_1 & C_0\rightarrow C_1 & D_0\rightarrow C_1\\ A_0\rightarrow D_1 & B_0\rightarrow D_1 & C_0\rightarrow D_1 & D_0\rightarrow D_1\end{pmatrix} \end{align}\]

Zyklische Matrizen

Matrizen \(A\) sind zyklisch, wenn es ein \(n\in\mathbb{N}\) hat mit \(A^n=A\)

Damit eine Population nach \(n\) Jahren \(a\) mal Grösser wird, gilt:

\[M^n=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}\]

Wir haben uns aber nur Matrizen folgender Form (Populationsmatrizen) angeschaut:

\[M=\begin{pmatrix}0&0&0&v\\a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\end{pmatrix}\]

\(n\times n\)-Matrizen dieser Form haben einen Zyklus von \(n\) Jahren.

Achtung, steht nicht in der Theorie, bei Fragen an Mikail (er ist ein absoluter Experte in Matrixen, vor allem wenn es um Populationen und Diagonal-Matrixen geht, kann ihm niemand das Wasser reichen) wenden. Soll nun ein Parameter \(v\) der Populationsmatrix \(M\) so verändert werden, dass nach \(m\) Jahren die Population um \(b\) grösser wird, wobei die Matrix eine Periode von \(t\) hat (nach \(t\) Jahren eine Diagonal-Matrix entsteht) bzw. eine Grösse von \(t\times t\), gilt (\(v_1\) ist der Wert von \(v\), wenn die Population nach einer Periode gleich gross bleiben soll, eine Diagonal-Matrix mit 1):

\[\begin{align} v&=v_1\cdot\sqrt[n/t]{a}\\[11pt] v_1&=\frac{v}{\sqrt[n/t]{a}}\\[11pt] v_{\textrm{neu}}&=v_1\cdot\sqrt[m/t]{b}\\[11pt] v_{\textrm{neu}}&=\frac{v}{\sqrt[n/t]a}\cdot\sqrt[m/t]{b} \end{align}\]

Alternativ einfach \(M^m=\begin{pmatrix}b&0&0\\0&b&0\\0&0&b\end{pmatrix}\) mit \(v\) als Unbekannte in Mathematica eintippen.

Stochastische Matrizen

Stochastische Matrizen sind Matrizen, bei denen jede Spalte die Summe 1 aufweist.

Grenzvektor

Bestimmung

Für Grenzvektoren \(\vec{v}=\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}\) einer Matrix \(M\) mit \(A+B+C+D=\textrm{Bestand}\) gilt:

\[\vec{v}=M\cdot\vec{v}\]

Existenz

Es sei eine Matrix \(M=\begin{pmatrix}0.2&0.4\\0.8&0.6\end{pmatrix}\) und ein Startvektor \(\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}\) mit \(a_0+b_0=600\) gegeben. Die Matrix \(M\) besitzt den Eigenvektor \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) mit Eigenwert \(1\) und den Eigenvektor \(\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\) mit Eigenwert \(-0.2\). Der Startvektor kann also mit Hilfe des Fixpunktes und der Eigenvektoren wie folgt aufgeschrieben:

\[\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}200\\400\end{pmatrix}+C\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\]

Um die Existenz des Grenzwertes zu zeigen geht man wie folgt vor:

\[\begin{align} \lim_{n\to\infty}M^n\cdot\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}&=\lim_{n\to\infty}M^n\cdot\left(\begin{pmatrix}200\\400\end{pmatrix}+C\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\right)\\[11pt] &=\lim_{n\to\infty}M^n\cdot\begin{pmatrix}200\\400\end{pmatrix}+M^n\cdot C\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\\[11pt] &=\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}200\\400\end{pmatrix}+C\cdot(-0.2)^n\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\\[11pt] &=\begin{pmatrix}200\\400\end{pmatrix} \end{align}\]

Explizite Definition

Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge hat die folgende rekursive Definition, welche sich mit vollständiger Induktion beweisen lässt:

\[\begin{pmatrix}a_{2n}\\a_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^n\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\]

Last update: June 19, 2021