Gewöhnliche Differentialgleichungen

Begriffe

Bei Differenzen-Gleichungen arbeitet man mit Relativen Zunahmen:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Bei Differenzial-Gleichungen arbeitet man mit Momentaner Zunahme:

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}\]

Lineares Wachstum

Relative und Momentane Zunahme sind konstant.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\textrm{konst.}\;\textrm{und}\;\frac{dy}{dx}=\textrm{konst.}\]

Exponentielles Wachstum

Die Momentane Zunahme ist proportional zum Funktionswert / zur vorhandenen Anzahl:

\[\frac{\frac{dy}{dx}}{y}=\frac{y'}{y}=\textrm{konst.}\]

Begrenztes Wachstum

Die Momentane Zunahme ist proportional zum Funktionswert/vorhandenen Anzahl subtrahiert von einer Grenze \(G\):

\[\frac{y'}{G-y}=k\]

Logistisches Wachstum

\[y'=k\cdot y(G-y)\]

Berechnung von DG's

Allgemein

Die wichtigste Methode beim Lösen von DG's ist die sogenannte Separation der Variablen. Das bedeutet, dass man alle \(y\) und \(y'\) auf die eine Seite bringt und den Rest auf die andere. Wichtig dabei ist, dass zu jedem \(y\) auch ein \(y'\) vorhanden ist, damit integriert werden kann.

Beim Integrieren entsteht die Integrationskonstante \(C\). Es gibt also unendlich viele Funktionen als Lösung. Man braucht also eine Anfangsbedingung, um das jeweilige \(C\) zu finden.

Logistisches Wachstum, also \(y'=k\cdot y(G-y)\), kann zum Integrieren mit der Partialbruchzerlegung (siehe Integrations-Methoden) oder mit einer Substitution \(z=\frac{1}{y}\) und \(y'=-y^2z'\) bestimmt werden (siehe nachfolgende Beispiele)

Beispiele

\(y'=2y\):

\[\begin{align} y'&=2y\\[11pt] \frac{y'}{y}&=2\\[11pt] \ln(y)&=2x+C\\[11pt] y&=e^{2x+C}\\[11pt] y&=C\cdot e^{2x} \end{align}\]

\(y'x=\frac{1}{y^2}\):

\[\begin{align} y'x&=\frac{1}{y^2}\\[11pt] y'y^2&=\frac{1}{x}\\[11pt] \frac{y^3}{3}&=\ln(x)+C\\[11pt] y&=\sqrt[3]{3\ln(x)+C} \end{align}\]

\(y'=k\cdot y(G-y)\) mit \(z=\frac{1}{y}\) und \(y'=-y^2z'\):

\[\begin{align} y'&=k\cdot y(G-y)\\[11pt] -y^2z'&=k\cdot y(G-y)\\[11pt] -z'&=k(\frac{G}{y}-1)\\[11pt] z'&=-k(G\cdot z-1)\\[11pt] \frac{z'}{z-\frac{1}{G}}&=-kG\\[11pt] \ln\left(z-\frac{1}{G}\right)&=-kGx+C\\[11pt] z&=C\cdot e^{-kGx}+\frac{1}{G}\\[11pt] y&=\frac{1}{C\cdot e^{-kGx}+\frac{1}{G}} \end{align}\]

Energie

\[\begin{align} \vec{F}&=-G\frac{mM}{x^2(t)}\\[11pt] m\cdot a&=-G\frac{mM}{x^2(t)}\\[11pt] \ddot{x}(t)m&=-G\frac{mM}{x^2(t)}\\[11pt] \dot{x}(t)\ddot{x}(t)m&=-G\frac{mM}{x^2(t)}\dot{x}(t)\\[11pt] m\frac{\dot{x}^2(t)}{2}&=GmM\frac{1}{x(t)}+C\\[11pt] C&=\frac{m}{2}v^2+\vec{F}x(t)\\[11pt] \textrm{Energie}&=E_{\textrm{kin}}+E_{\textrm{pot}} \end{align}\]

Bemerkungen

Eindeutigkeit

Gibt es andere Funktion \(g(x)\) ausser \(f(x)=C\cdot e^{kx}\) für die DG \(y'=y\cdot k\) ?

Für die Ableitung des Quotienten gilt:

\[\begin{align} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\[11pt] &=\frac{kf(x)g(x)-kf(x)g(x)}{g^2(x)}\\[11pt] &=0 \end{align}\]

Für den Quotienten gilt:

\[\frac{f(x)}{g(x)}=C\]

Mit gleicher Anfangsbedingung:

\[\frac{f(a)}{g(a)}=1\]

Dies bedeutet, dass \(f(x)\) und \(g(x)\) identisch sein müssen.

Komplexe DG

Mit \(y'=y\cdot i\) soll gezeigt werden, dass \(e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)\) gilt:

Wir haben also:

\[\begin{align} f(x)&=\cos(x)+i\sin(x)\\[11pt] g(x)&=e^{xi}\\[11pt] f(0)&=g(0)=0 \end{align}\]

Es folgt:

\[\begin{align} f'(x)&=e^{xi}\cdot i=f(x)\cdot i\\[11pt] &\textrm{und}\\[11pt] g(x)\cdot i&=i\cos(x)+i^2\sin(x)\\[11pt] &=-sin(x)+i\cos(x)\\[11pt] &=g'(x) \end{align}\]

Es handelt sich also um dieselbe DG \(\Rightarrow\;e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)\)

Überlagerung von Wachstum

Falls Bedingungen verschiedener Wachstumsarten gegeben sind, können die jeweiligen Momentanen Zunahmen zusammenaddiert werden, um die DG für das ganze Modell zu erhalten.

Last update: May 28, 2021