Affinitäten

Allgemein

Definition

Punktabbildungen \(\alpha\) der folgenden Form nennt man Affinitäten:

\[\begin{align} x'&=a\cdot x + b\cdot y+e\\[11pt] y'&=c\cdot x + d\cdot y+f\\[11pt] \end{align}\]

Es handelt sich also um die Verkettung \(\beta\circ\gamma\) einer linearen Vektorabbildung \(\gamma\) und einer Verschiebung \(\beta\):

\[\begin{align} \gamma:&\;&&x'=a\cdot x + b\cdot y\\[11pt] &\;&&y'=c\cdot x + d\cdot y\\[11pt] &\;\\[11pt] \beta:&\;&&x'=x + e\\[11pt] &\;&&y'=y+f \end{align}\]

Determinanten

Die Folgen der Determinante sind die gleichen wie bei linearen Abbildungen, weil sie nur für die Vektorabbildung verwendet werden. Für Verkettungen \(\alpha\circ\beta\) gilt auch:

\[\Delta_{\alpha}\cdot \Delta_{\beta}=\Delta_{\alpha\circ\beta}\]

Für die Umkehrabbildung:

\[\Delta_{\alpha^{-1}}=\frac{1}{\Delta_{\alpha}}\]

Umkehrabbildung

Durch Umtauschen von \(x\) und \(y\) mit \(x'\) und \(y'\) und Lösen nach \(x'\) und \(y'\) oder mit der allgemeinen Fkt.:

\[\begin{align} x'&=\frac{1}{\Delta}(d\cdot x - b\cdot y +bf-de)\\[11pt] y'&=\frac{1}{\Delta}(-c\cdot x + a\cdot y+ce-af) \end{align}\]

Auch hier muss \(\Delta\not=0\) gelten.

Perspektivität

Abbildungen \(\alpha\) mit einer Fixpunktgeraden \(g\) und einer Affinitätsrichtung \(\vec{PP'}\) nennt man perspektiv affin. Zur Bestimmung der Fixpunktgeraden, wird von den Gleichungen von Fixpunkten ausgegangen:

\[\begin{align} x&=a\cdot x + b\cdot y+e\\[11pt] y&=c\cdot x + d\cdot y+f\\[11pt] \end{align}\]

Wenn also folgendes Gleichungssystem

\[\begin{align} 0&=(a-1)\cdot x + b\cdot y+e\\[11pt] 0&=c\cdot x + (d-1)\cdot y+f\\[11pt] \end{align}\]

eine allgemeingültige Lösung hat, z. B. \(0=0\), dann können beide Gleichungen zur Gleichung der Fixpunktgeraden umgeformt werden.

Für die Affinitätsrichtung \(\vec{PP'}\) gilt \(\vec{OP'}-\vec{OP}=\vec{PP'}\):

\[\begin{pmatrix}a\cdot x + b\cdot y+e\\c\cdot x + d\cdot y+f\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a-1)\cdot x + b\cdot y+e\\c\cdot x + (d-1)\cdot y+f\end{pmatrix}\]

Eigenvektoren und Eigenwerte

Allgemein

Vektoren \(\vec{v}\) mit Vektorabbildung \(\vec{\alpha}\) nennt man Eigenvektor mit Eigenwert \(\lambda\), wenn folgendes gilt:

\[\vec{\alpha}(\vec{v})=\lambda\cdot\vec{v}\]

Eigenvektoren werden zu zum Eigenvektor kollinearen Vektoren abgebildet.

Umgekehrt gilt auch für alle zum Eigenvektor \(\vec{v}\) kollinearen Vektoren \(\vec{w}\):

\[\vec{\alpha}(\vec{w})=\vec{\alpha}(c\cdot\vec{v})=c\cdot\vec{\alpha}(\vec{v})=c\cdot\lambda\vec{v}=\lambda \vec{w}\]

Alle zum Eigenvektor kollinearen Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda\).

Bestimmung

Folgendes Gleichungssystem muss gelten:

\[\begin{align} \lambda\cdot x&=a\cdot x + b\cdot y\\[11pt] \lambda\cdot y&=c\cdot x + d\cdot y\\[11pt] \end{align}\]

Wegen des vorher gezeigten Zusammenhanges von Kollinearität und der Eigenvektoren, muss dieses Gleichungssystem \(\infty\) viele Lösungen (kollineare Vektoren) haben. Die Determinante \(\Delta\) muss also 0 sein:

\[(a-\lambda)(d-\lambda)-b\cdot c=0\]

Daraus entsteht auch das charakteristische Polynom:

\[\lambda^2-(a+d)\lambda + ad - bc= \lambda^2-(a+d)\lambda + \Delta\]

Alle Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda\) (es gibt 2 weil quadratisch) sind Lösungen der vorherigen 2 Gleichungen, wobei die erhaltenen \(\lambda\) eingesetzt werden.

Fixgeraden

Fixgeraden sind Geraden, deren Abbildung auf sich selbst fällt, sprich dieselbe Gerade. Es muss also nicht zwingend jeder Punkt auf sich selbst fallen (Fixpunktgerade).

Der Richtungsvektor \(\vec{AA'}\) der Geraden ist kollinear zum Eigenvektor \(\vec{v}\):

\[\begin{pmatrix}(a-1)\cdot x + b\cdot y+e\\c\cdot x + (d-1)\cdot y+f\end{pmatrix}=t\cdot \vec{v}\]

Aus diesen beiden Gleichungen kann man \(t\) eliminieren und erhält die Gleichung der Fixgeraden, falls eine vorhanden ist.

Spezielle Abbildungen

Allgemeine zentrische Streckung

Eine Abbildung soll um den Faktor \(\lambda\) mit Zentrum \((x_z|y_z)\) strecken:

\[\begin{align} x'&=\lambda(x-x_z) + x_z\\[11pt] y'&=\lambda(y-y_z) + y_z \end{align}\]

Last update: June 20, 2021