HP, TP, WP und Extremalprobleme
Begriffe
Links / Rechts Kurve
\[\begin{align}
y''&>0\;\textrm{(links)}\\[11pt]
y''&<0\;\textrm{(rechts)}
\end{align}\]
Tiefpunkt TP
\[\begin{align}
y'&=0\\[11pt]
y''&>0
\end{align}\]
Hochpunkt HP
\[\begin{align}
y'&=0\\[11pt]
y''&<0
\end{align}\]
Wendepunkt WP
\[y''=0\]
Sattelpunkt SP
\[\begin{align}
y'&=0\\[11pt]
y''&=0
\end{align}\]
Aufbau Kurvendiskussion
- \(y'\) und \(y''\) bestimmen
- Nullstellen
- HP/TP
- WP
- Grenzen (\(\lim_{x\to\pm\infty}y\))
- Graph
Extremalprobleme
- Formel für den zu minimierenden / maximierenden Parameter aufstellen
- Beziehungen zwischen Variablen der Formel finden (z. B. mit Hilfe von Strahlensätzen)
- Formel aus 1 mit Hilfe der Beziehung nach einer Variablen umschreiben
- Mit Hilfe von Ableiten HP und TP finden
Trick Extremalstellen
Alle veränderte Funktionen (z. B. \(y^2\)) von \(y\) haben Extremalpunkte an derselben Stelle. Nützlich um z. B. \(y=x\sqrt{1-2x}\) abzuleiten.
Methode der kleinsten Quadrate
\(w\) so bestimmen, dass die Summe der quadrierten Differenzen \(\sum_{n=1}^{p}d_n^2\) einer Anzahl \(p\) an Punkten mit Werten \(z\) minimiert wird \(s(w)\):
\[\begin{align}
s(w)&=\sum_{n=1}^{p}d_n^2\\[11pt]
s(w)&=\sum_{n=1}^{p}(w-z_n)^2\\[11pt]
s(w)&=\sum_{n=1}^{p}(w^2-2w\cdot z_n + z_n^2)\\[11pt]
s'(w)&=\sum_{n=1}^{p}(2w-2z_n)\\[11pt]
0&=\sum_{n=1}^{p}2*(w-z_n)\\[11pt]
0&=\sum_{n=1}^{p}(w-z_n)\\[11pt]
0&=p\cdot w - \sum_{n=1}^{p}z_n\\[11pt]
w&=\frac{\sum_{n=1}^{p}z_n}{p}
\end{align}\]
Last update: May 26, 2021