Vektorgeometrie I

Definition Vektor

Alle Pfeile mit gleicher Länge und Richtung sind ein Vektor \(\vec{s}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)\): die Länge von \(\vec{s}\) ist ein Mass für die Geschwindigkeit.

Vektoraddition

\(\vec{a}\) an \(\vec{b}\) anhängen und zum Origo verbinden.

Gegenvektor & Subtraktion

Gegenvektor: Vektor \(-\vec{a}\) in entgegengesetzter Richtung zu Vektor \(\vec{a}\)
Subtraktion: Addition mit dem Gegenvektor

Oder bei \(\vec{a}-\vec{b}\) einfach Pfeilspitzen verbinden mit Richtung gegen \(\vec{a}\)

Multiplikation

Aus der Multiplikation eines Vektors \(\vec{a}\) mit einer Zahl \(\lambda\) entsteht ein Vektor \(\vec{b} = \lambda\vec{a}\) mit veränderter Länge und/oder entgegengesetzter Richtung.

Betrag eines Vektors

Für den Betrag \(|\vec{a}|\) eines Vektors \(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3 \end{array}\right)\) gilt:

\[|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]

Skalarprodukt

Definition, damit folgende Gesetze gelten:

\[\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}\]
\[(\vec{a}-\vec{b})^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2\]
\[(-\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(-\vec{b})=-(\vec{a}\cdot\vec{b})\]

Idee mit Kosinussatz:

\[|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)\]

Für das Skalarprodukt gilt demnach:

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)\]

Weiteres siehe Skalar-, Vektor- und Spatprodukt

Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind kollinear, wenn \(\vec{b}=\lambda\vec{a}\) gilt.

Last update: May 26, 2021