Beurteilende Statistik
Grundgesamtheit
Eine unbekannte oder sehr grosse Grundgesamtheit hat einen unbekannten und abzuschätzenden Erwartungswert \(\mu\) und eine Theoretische Standardabweichung \(\sigma\):
\[\begin{align}
\mu&=\frac{\sum_{i=1}^k x_i}{k}\\[11pt]
\sigma&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k (\mu-x_i)^2}{k}}
\end{align}\]
Zufalsstichprobe
Eine Zufallsstrichprobe aus der Grundgesamtheit mit Umfang \(n\) hat den Durchschnitt \(\bar{x}\) und die empirische Standardabweichung \(s\):
\[\begin{align}
\bar{x}&=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\\[11pt]
s&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (\bar{x}-x_i)^2}{n-1}}
\end{align}\]
Diese Werte gelten als Abschätzungen zur Grundgesamtheit \(\mu\approx\bar{x}\) und \(\sigma\approx s\)
Unsicherheit bei der Zufalsstichprobe
Der Durchschnitt \(\bar{x}\) der Stichprobe streut mit dem Standardfehler \(s_n\):
\[s_n=\frac{s}{\sqrt{n}}\]
Eine besser Annäherung für den Erwartungswert ist also:
\[\mu\approx\bar{x}\pm s_n\]
Es gilt:
\[\begin{align}
&\bar{x}\pm s_n &&(\textrm{68\% Sicherheit})\\[11pt]
&\bar{x}\pm 2s_n &&(\textrm{95\% Sicherheit})\\[11pt]
&\bar{x}\pm 3s_n &&(\textrm{99\% Sicherheit})
\end{align}\]
Last update: June 12, 2021