Wahrscheinlichkeitsverteilung

Begriffe

Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wir verwenden von nun an \(X\) für die Zufallsgrösse (z. B. "Gewürfelte Augenzahl"), wobei die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten \(p(X)\) als Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben wird.

Sind alle \(p(X)\) gleich, spricht man von Gleichverteilung

Erwartungswert

Der Erwartungswert (der durchschnittlich zu erwartende Wert) \(E(X)\) oder \(\mu\) wird wie folgt berechnet:

\[E(X)=\mu=\sum_{k=1}^{n}x_kp(X = x_k)\]

Andere Zufallsgrössen (Gewinn / Runs)

Oft bezeichnet man Erwartungswerte, wie denn des Gewinnes in einem Spiel mit \(Y\). Faire Spiele haben \(E(Y)=0\)

Auch die Anzahl Runs (wie oft wechselt der eigentliche Erwartungswert) wird oft mit \(Y\) bezeichnet. Hier muss wieder mit Tupeln gerechnet werden. Für \(E(Y)\) mit \(n\) als Anzahl möglicher Wechsel (immer 1 weniger als die Anzahl der z. B. Würfe), \(k\) als Anzahl der Wechsel und \(p\) als als Wahrscheinlichkeit eines Wechsels gilt also:

\[\begin{align} E(Y)&=1\cdot{n\choose 0}p^{(n+1)}+2\cdot{n\choose 1}p^{(n+1)}+3\cdot{n\choose 2}p^{(n+1)}+...+(n+1)\cdot{n\choose n}p^{(n+1)}\\[11pt] &=p^{(n+1)}[\sum_{k=0}^{n}(k+1){n\choose k}] \end{align}\]

Varianz / Standardabweichung

Beim Vergleichen zweier Zufallsgrössen \(X\) und \(Y\) können die Erwartungswerte \(E(X)\) und \(E(Y)\) gleich sein, die Streuung / Varianz sich aber unterscheiden. Für die Varianz einer Zufallsgrösse verwenden wir \(V(X)\). Sie berechnet sich wie folgt:

\[V(X)=\sum_{k=1}^{n}p(X = x_k)\cdot(x_k-\mu)^2\]

Da wir hier quadrieren, gibt es auch die Standardabweichung \(\sigma\):

\[\sigma=\sqrt{V(X)}\]

Binomialverteilung

Voraussetzung

Wenn bei einem Baum lediglich eine Wahrscheinlichkeit \(p\) und eine \(q=1-p\) vorhanden sind, spricht man von einer Binomialverteilung.

Berechnung

\(n\) sei die Anzahl Stufen / Versuche, \(p\) die Wahrscheinlichkeit (\(q=1-p\)) für einen Treffer und \(k\) die Anzahl Treffer.

Formel von Bernoulli

\[p(X = k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}\]

binomialpdf

\[p(X = k)=\textrm{binomialpdf}(n,p,k)\]

binomialcdf

\[p(X \leq k)=\textrm{binomialcdf}(n,p,k)\]

E(X)

\[E(X)=\sigma=n\cdot p\]

V(X)

\[V(X)=n\cdot p\cdot q\]

Standardabweichung

\[\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{n\cdot p\cdot q}\]

Unendliche viele Werte

!Achtung: Immer noch Binomialverteilung! (Unendliche Bäume, die nicht binomial verteilt sind, mit Hilfe der Formeln in Endliche Folgen und Reihen.)

Vorbemerkung:

\[1+2x+3x^2+4x^3+...=\frac{1}{(1-x)^2}\]

Beispiel: Wie oft muss gewürfelt werfen, bis zum 1ten Mal eine 5 kommt?

\[E(X)=\frac{1}{6}\left[1+2\cdot\frac{5}{6}+3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+...\right]=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{5}{6}\right)^2}=6\]

Allgemein:

\[E(X)=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}\]

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist im Grunde eine Annäherung an die Binomialverteilung, um diese als Funktion auszudrücken. Zudem ermöglicht sie, dass Zahlen aus \(\mathbb{R}\) verwendet werden können.

Als Funktion wird dabei die Dichtefunktion \(\varphi(x)\) von Gauss:

\[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

Wahrscheinlichkeiten \(p(x)\) sind also die Flächen unter dem Integral, weswegen sie also mit dem Integral der Dichtefunktion berechnet werden.

Berechnung

normalcdf

\[p(k_1\leq x\leq k_2)=\textrm{normalcdf}(\mu,\sigma,k_1,k_2)=\int_{k_1}^{k_2} \varphi(x) \,dx\]

normalpdf

Macht eigentlich wenig Sinn, da Fläche unter einzelnen Werten ja 0 sind. Es wird also verwendet, um die Dichtefunktion zu berechnen.

\[p(x)=\textrm{normalpdf}(x,\mu,\sigma)=\varphi(x)\]

invNorm

Um von einer gegeben Wahrscheinlichkeit \(p_0=p(x\leq x_0)\) das \(x_0\) zu finden, wird der Befehl invNorm verwendet:

\[x_0 = \textrm{invNorm}(p_0,\mu,\sigma)\]

Stetigkeitskorrektur

Falls eine Zufallsgrösse \(X\) normalverteilt ist aber nur ganzzahlige Werte annehmen kann, besteht die Möglichkeit eine Stetigkeitskorrektur durchzuführen:

\[p(x\leq k)\rightarrow p(x\leq k+0.5)\]

Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist Normalverteilung mit den Werten \(\mu=0\) und \(\sigma=1\). Sie ist somit zur y-Achse symmetrisch.

Standardisierung einer Normalverteilung

Um von einem normalverteilten Zufallsgrösse \(X\) mit \(\mu_x\) und \(\sigma_x\) auf die standardisierte Zufallsgrösse \(Y\) zu kommen, rechnet man Folgendes:

\[Y=\frac{X-\mu_x}{\sigma_x}\]

Dann bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. (Beweis mit Substitutionsmethode mit \(Y\))

Umgekehrt lassen sich auch \(\mu_x\) und \(\sigma_x\) aus dem standardisierten \(Y\) berechnen, indem man zuerst die Grenzen anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(p\) standardisiert und \(\mu_x\) und \(\sigma_x\) dann mit der obigen Formel berechnet.

Umgebungen

\[\begin{align} p(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)&\approx 68.3\% \\[11pt] p(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)&\approx 95.4\% \\[11pt] p(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma)&\approx 99.7\% \end{align}\]

Umfang n einer Stichprobe bestimmen

Um von einer absoluten Zufallsgrösse \(X\) zu einer relativen \(Y\) zu kommen, brauchen wir die Umwandlung \(Y=\frac{X}{n}\). Wir wollen nun mit einer bestimmten Sicherheit \(\lambda\sigma_y\) (wir wählen eine Umgebung aus siehe vorheriges Kapitel) auf \(g\) genau bestimmen (z. B. Anteil Personen mit Blutgruppe B auf 0.02 genau).

Es gelten nun:

\[\begin{align} \lambda\sigma_y&=g\\[11pt] \sigma_y&=\frac{\sigma_x}{n}=\sqrt{\frac{pq}{n}} \end{align}\]

Folgende Gleichung ergibt sich:

\[\sqrt{\frac{pq}{n}}=\frac{g}{\lambda}\]

Falls ungefähre \(p\) und \(q\) nicht bekannt sind, müssen wir eine zusätzliche Abschätzung machen:

\[\begin{align} p(1-p)&=p-p^2\\[11pt] &=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}-p+p^2\right)\\[11pt] &=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-p\right)^2\leq\frac{1}{4} \end{align}\]

Wir verwenden also \(pq\leq\frac{1}{4}\). Würde man wissen, dass sich \(p\) bei etwa 10% befindet hätten wir \(pq\approx 0.09\).

Aus der Gleichung entsteht nun:

\[\begin{align} \sqrt{\frac{1/4}{n}}&\leq\frac{g}{\lambda}\\[11pt] \frac{1}{4n}&\leq\left(\frac{g}{\lambda}\right)^2\\[11pt] n&\geq\frac{1}{4(\frac{g}{\lambda})^2} \end{align}\]

Last update: June 6, 2021