Physik mit Differential- und Integralrechnung

Kinematik

Die Position eines Körpers als Vektor \(\vec{r}\):

\[\vec{r}=\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\\z(t) \end{array}\right)\]

Für die Geschwindigkeit \(\vec{v}\) und die Beschleunigung \(\vec{a}\) folgen demnach:

\[\vec{v}=\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z} \end{array}\right)={\vec{r}'}\]

\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c}\ddot{x}\\\ddot{y}\\\ddot{z} \end{array}\right)={\vec{r}''}\]

Verknüpfung mit Kräften: Dynamik

Für das 2te Newton'sche Prinzip:

\[\vec{F}_{res}=m\cdot\vec{a}=m\cdot{\vec{r}''}\]

Wenn also z. B. \(m\) und \(\vec{F}_{res}\) gegeben sind, können \(\vec{a}(t)\), \(\vec{v}(t)\) und \(\vec{r}(t)\) wie folgt berechnet werden:

\[\vec{a}=\frac{\vec{F}_{res}}{m}\]

\[\vec{v}(t)=\int \vec{a}(t) \,dt\]

\[\vec{r}(t)=\int \vec{v}(t) \,dt\]

Am Beispiel des Freien Falls mit \(\vec{G}=m\cdot\vec{a}\) gilt demnach:

\[z(t)=-\frac{g}{2}t^2+v_0t+z_0\]

Wobei es sich bei \(v_0\) und \(z_0\) um die jeweiligen Integrationskonstanten handelt.

Arbeit einer Kraft

Erinnerung: \(W\) = "Kraft mal Weg" = "Kraftkomponente parallel zum Weg mal Weg", wenn die Kraft konstant ist. Sonst handelt es sich beim \(W\) um eine Fläche (also einem Integral).

Einige Beispiele:

Feder

\[W=\int_{0}^{x_0} Dx \,dx=\frac{D}{2}x^2\]

Masse \(m\) von Höhe \(x_1\) auf \(x_2\)

\[W=\int_{x_1}^{x_2} mg \,dx=mg(x_2-x_1)\]

Masse \(m\) von Erdoberfläche auf Distanz \(d\)

\[W=\int_{r_E}^{d} G\cdot\frac{m_E\cdot m}{x^2} \,dx=G\cdot m_E\cdot m(\frac{1}{r_E}-\frac{1}{d})\]

Exkurs Fluchtgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit, die nötig ist, um dem Gravitationsfeld von der Oberfläche antriebslos zu entkommen. Man setzt also \(E_{kin}\) dem Einfluss des Gravitationsfeld von der Oberfläche zu \(\infty\):

\[\int_{r_E}^{\infty} G\cdot\frac{m_E\cdot m}{x^2} \,dx\]

Für \(v_{Flucht}\) folgt also:

\[v_{Flucht}=\sqrt{\frac{2Gm_E}{r_E}}\]

Sobald man von \(v=c\) ausgeht, nennt man den Radius \(R_S\) Schwarzschildradius, dem Ereignishorizont eines schwarzen Loches.

Coulombkraft \(F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_1\cdot Q_2}{x^2}\) über den Weg des Protons

\[W=\int_{\infty}^{d} F_C \,dx\]

Induktion

\[U_{ind}(t)=-\frac{d\phi}{dt}=-\frac{d[A(t)\cdot B(t)\cdot \cos(\alpha(t))]}{dt}\]

Last update: May 26, 2021