Erstes Rechnen mit Matrizen

Allgemein

Schreibweise

Matrizen sind im Grunde Tabellen für Abbildungen:

\[\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}=\textrm{2x3-Matrix}=\textrm{Zeilen x Spalten}\]

Quadratische Matrix

Matrizen mit gleicher Anzahl an Zeilen und Spalten.

Einheitsmatrix

Für eine Einheitsmatrix \(E\) gilt \(M\cdot E=M\):

\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]

Inverse Matrix

Es gilt:

\[\begin{align} A&=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\[11pt] A^{-1}&=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\\[11pt] A\cdot A^{-1}&=A^{-1}\cdot A \end{align}\]

Diagonal Matrix

\[\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}\]

Symmetrische Matrix

\[\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}\]

Permutationsmatrix

\[\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\]

Transponible Matrix

Zeilen und Spalten werden vertauscht:

\[\begin{align} M&=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\\[11pt] M^{T}&=\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix} \end{align}\]

Multiplikation/Division

Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt:

\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}\]

Die Multiplikation ist nicht kommutativ (\(AB\not=BA\))

Die Division ist nicht eindeutig, deshalb muss mit der inversen Matrix multipliziert werden.

Basistransformation

Allgemein

Will man z. B. an einer Gerade spiegeln (kann man auch mit herkömmlichen linearen Abbildung), können Basistransformationen den Prozess erleichtern. Man stellt zuerst eine Transformationsmatrix \(T\) auf, welche die Basen \(\vec{e_1}\), \(\vec{e_2}\) so verändert \(\vec{f_1}\), \(\vec{f_2}\) (sie müssen nur linear unabhängig sein, Länge und Winkel sind egal), dass das Problem erleichtert wird (Bei einer Spiegelung also so, dass man anschliessend an der x-Achse spiegelt). Dann führt man die Spiegelung \(B\) durch und transformiert wieder zurück mit \(T^{-1}\). Für die Abbildung \(A\) gilt demnach:

\[A=T\cdot B\cdot T^{-1}\]

Wobei für \(T\) gilt:

\[T=\begin{pmatrix}\vec{f_1}&\vec{f_2}\end{pmatrix}\]

Beispiel

Spiegelung an einer Geraden durch den Nullpunkt und Steigung \(m\).

Eine gute Transformationsmatrix wäre:

\[T=\begin{pmatrix}1&m\\m&-1\end{pmatrix}\]

Spiegelungen an der x-Achse haben \(B\):

\[B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\]

Für die Abbildung \(A\) gilt also:

\[\begin{align} A&=T\cdot B\cdot T^{-1}\\[11pt] &=\begin{pmatrix}1&m\\m&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{-1-m^2}\begin{pmatrix}-1&-m\\-m&1\end{pmatrix} \end{align}\]

Last update: June 18, 2021