Exponentielles Wachstum und Logarithmus
Allgemein
Der Logarithmus \(\log_{b}(x)\) ist die Umkehrfunktion zu \(b^x\). D. h.:
\[x=\log_{b}(b^x)=b^{\log_{b}(x)}\]
Für \(\log_{b}(x)\) gilt \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}\), \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\) und für die Basis \(b\) sind nur Werte aus \(]0;\infty[\setminus\{1\}\) erlaubt, weil nur diese zu stetigen Funktionen führen.
Folgende Abkürzungen werden oft verwendet:
\[\begin{align}
\log_{10}(x)=\lg(x)\\[11pt]
\log_{e}(x)=\ln(x)
\end{align}\]
Logarithmusgesetze
\[\begin{align}
&\textrm{I.}\:\log_{b}(m\cdot n)=\log_{b}(m)+\log_{b}(n)\\[11pt]
&\textrm{II.}\:\log_{b}\left(\frac{m}{n}\right)=\log_{b}(m)-\log_{b}(n)\\[11pt]
&\textrm{III.}\:\log_{b}(m^n)=n\cdot\log_{b}(m)\\[11pt]
&\textrm{IV.}\:\log_{b}(c)=\frac{\log_{a}(c)}{\log_{a}(b)}\\[11pt]
\end{align}\]
Prozentrechnen
Es sei \(A(0)\) der Anfangsbetrag/bestand, \(p\) der prozentuale Wachstum pro Zeiteinheit und \(b=1+p\) der Wachstumsfaktor. Für den Betrag \(A(t)\) nach \(t\) Zeit gilt:
\[A(t)=A(0)\cdot(p+1)^t=A(0)\cdot b^t\]
In den Naturwissenschaften (z. B. für Halbwertszeit) schreibt man es als \(e^x\)-Funktion mit \(k=\ln(b)\):
\[N(t)=N(0)\cdot e^{\ln(b)t} = N(0)\cdot e^{kt}\]
Last update: June 4, 2021