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Repetition Funktionen und Ergänzungen

Funktionen vs. Relationen

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen aller \(x\in\mathbb{D}\) zu jeweiligen \(y\in\mathbb{W}\). Wenn dies sogar umgekehrt gilt, dann sind auch Umkehrfunktionen \(f^{-1}\) mit \(f^{-1}(f(x))=x\;\forall x\in\mathbb{D}\). Umkehrfunktionen können in diesem Fall mit Umtauschen von \(x\) und \(y\) erreicht werden.

Relationen sind bedingungslose Beziehungen zwischen \(y\) und \(x\). Beispiel hierfür sind Kreise und Ellipsen mit \((\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1\).

Spezielle Punkte

x-Achse / Nullstelle

\[(f(x)=0|0)\]

y-Achse

\[(0|f(0))\]

Schnittpunkte

\[f(x)=g(x)\]

Spezielle Funktionen

Geraden

Geraden haben eine Steigung \(m\) und einen y-Achsenabschnitt \(q\):

\[y=mx+q\]

Parabeln

Quadratische Funktion

Quadratische Funktionen haben 2 typische Schreibweisen:

Erste Art

\[y=ax^2+bx+c\]

Zweite Art (mit (u|v) als Scheitelpunkt)

\[y=a(x-u)^2+v\]

Weitere Parabeln / Hyperbeln

Funktionen mit \(y=x^k\) und \(k>1\) sind parabelförmig, wobei bei negativen \(k\) Hyperbeln entstehen. Bei beiden streben gerade \(k\) sowohl für negative als auch positive \(x\) zu \(\infty\). Bei ungeraden gehen die negativen Richtung \(-\infty\).

Symmetrien

Parabeln sind achsensymmetrisch (\(f(-x)=f(x)\forall x\)), wenn die Funktion nur gerade Exponenten besitzt, sie also wie folgt aufgeschrieben werden kann:

\[\sum_{k=0}^{n}a_k\cdot x^{2k}\]

Parabeln sind punktsymmetrisch (\(f(-x)=-f(x)\forall x\)), wenn die Funktion nur ungerade Exponenten besitzt, sie also wie folgt aufgeschrieben werden kann:

\[\sum_{k=0}^{n}a_k\cdot x^{2k+1}\]

Sinus / Cosinus / e / ln

Sowohl \(\sin\) als auch \(\cos\) besitzen \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\) und \(\mathbb{W}=[-1;1]\) mit den jeweiligen Umkehrfunktionen \(\sin^{-1}=\arcsin\) und \(\cos^{-1}=\arccos\).

\(e^x\) hat \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\) und \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\). Die Umkehrfunktion ist der \(\ln\).

Funktionen bestimmen

Die einfachste Funktion die durch \(n\) Punkte gegeben ist, ist eine (\(n-1\))-ten Grades und kann also durch ein Gleichungssystem mit \(n\) Gleichungen bestimmt werden.

Stetigkeit / Differenzierbarkeit

Stetigkeit

Funktionen sind stetig, wenn ihr Graph ohne absetzen gezeichnet werden kann bzw.:

\[\lim_{x\to a^-}=\lim_{x\to a^+}=f(a)\;\textrm{oder}\;\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

Differenzierbarkeit

Funktionen sind differenzierbar, wenn sie keinen Knick besitzen. Beispiel für nicht differenzierbare Funktionen wären \(y=|x^2-4|\) oder \(y=\begin{cases}-2x+1 &x<2\\ x+a &x\geq2\end{cases}\)

Neue Grenzwerte

\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\) (Mit Hilfe der Fläche von Dreiecken und Kreissektoren)

\[\begin{align} \frac{\sin(x)\cos(x)}{2}&\leq\frac{x\cdot 1}{2}\leq\frac{\tan(x)\cdot 1}{2}\\[11pt] \sin(x)\cos(x)&\leq x\leq\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\[11pt] \cos(x)&\leq \frac{x}{\sin(x)}\leq\frac{1}{\cos(x)}\\[11pt] 1&\leq \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}\leq 1\\[11pt] &\Rightarrow\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 \end{align}\]

\(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}\)

\[\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}&=\lim_{z\to 0}\frac{\cos(2z)-1}{2z}\\[11pt] &=\lim_{z\to 0}\frac{1-2\sin^2(z)-1}{2z}\\[11pt] &=\lim_{z\to 0}\frac{-2\sin^2(z)}{2z}\\[11pt] &=\lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}\cdot\sin(z)\\[11pt] &=0 \end{align}\]

Alternativ mit De L'Hospital siehe Differentialrechnung II

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Last update: June 4, 2021