Endliche Folgen und Reihen

Begriffe

Folgen

Wenn Zahlen lediglich aufgelistet werden, dann nennt man dies Zahlenfolge:

\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,...a_n,\,...\]

Reihe

Reihen sind Aufsummierungen der einzelnen Glieder einer Folge:

\[s_n = a_1+a_2+a_3+...+a_n\]

Rekursive Definition

Bei einer Rekursiven Definition wird das nächste Glied \(a_{n+1}\) mit Hilfe eines oder mehreren der vorherigen Glieder \(a_{n}\) bestimmt. Ein Startwert muss bekannt sein.

Explizite Definition

Bei einer Expliziten Definition wird ein Glied \(a_n\) mit Hilfe seines Index \(n\) bestimmt. Die vorherigen Glieder (bis auf den Startwert) müssen also nicht bekannt sein.

Arithmetische Folgen und Reihen

Arithmetische Folge

Eine Zahlenfolge ist arithemtisch, wenn die Differenz \(d\) zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Sie hat folgende Definitionen:

Rekursiv

\[a_{n+1}=a_n+d\]

Explizit

\[a_{n}=a_1 + (n-1)\cdot d\]

Arithmetische Reihe

Herleitung der Formel für \(s_n\):

\[\begin{align} s_n&=a_1+a_2\;\;\;\:+a_3\;\;\;\,+...+a_{n-1}+a_n\\[11pt] s_n&=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_2\;\;\;\:+a_1\\[11pt] \underline{\phantom{+++}}&\underline{\phantom{+++++++++++++++++}}\\[11pt] 2s_n&=n(a_1 +a_n)\\[11pt] s_n&=\frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{align}\]

Geometrische Folgen und Reihen

Geometrische Folge

Eine Zahlenfolge ist geometrisch, wenn der Quotient \(q\) zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Sie hat folgende Definitionen:

Rekursiv

\[a_{n+1}=a_n\cdot q\]

Explizit

\[a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}\]

Geometrische Reihe

Herleitung der Formel für \(s_n\):

\[\begin{align} s_n&=a_1\;\;\;\;\;\;+\cancel{a_2}\;\;\;\;\,+...+\cancel{a_1\cdot q^{n-2}}+\cancel{a_1\cdot q^{n-1}}\\[11pt] q\cdot s_n&=\cancel{a_1\cdot q}+\cancel{a_2\cdot q}+...+\cancel{a_1\cdot q^{n-1}}+a_1\cdot q^{n}\\[11pt] \underline{\phantom{++++++}}&\underline{\phantom{+++++++++++++++++++++}}\\[11pt] (1-q)s_n&=a_1-a_1\cdot q^n\\[11pt] s_n&=a_1\frac{1-q^n}{1-q} \end{align}\]

Last update: June 6, 2021